ابر محدب q در فضاهای شبه متریک

 

 

ابر محدب q در فضاهای شبه متریک

 

انجام پایان نامه ریاضی

 

انجام  مقالات ریاضی

 

در این مقاله ، مفهوم ابر محدب بودن را (که ما آن را  ابرمحدب ƛq می نامیم) معرفی و مطالعه می کنیم که در دسته فضاهای T0-شبه متریک و نقشه های توسعه نیافته مناسب است و این باعث تعمیم مفهوم ابر محدب q مورد مطالعه کماجو و همکاران می شود

. ما یک نتیجه نقطه ثابت برای نقشه های توسعه نیافته در فضاهای ابر محدب ƛq را ثابت کرده و تصدیق می کنیم در میان موارد دیگر مجموعه نقاط ثابت از نقشه های غیر گسترده روی ابر محدب ƛq محدود به فضاهای شبه متریک T0 خود ابر محدب ƛq است.

 

 

 

 

 

 

مقدمه

 

 

آرونسجان و پانیک پاکدی (رجوع کنید به [4 ، تعریف 1 ، صفحه 410]) یک فضای متریک (M ، D) را به صورت ابر محدب تعریف کرد اگر: برای هر طبقه نشان داده شده گوی های محصور Cd (xi , ri )i∈I در M مطلوب d(xi , x j ) ≤ ri + r j for all i , j ∈ I باشد .

 

 

همچنین کماجوو و همکاران را برای تعریف یک شباهت ابر محدب در طبقه ی فضاهای شبه محدب و نقشه های غیر گسترده که آنها آن را ابر محدب q نامیدند، راضی کرد.

آنها خاصیت نقاط ثابت را برای نقشه برداری های غیر گسترده در فضاهای ابر محدب q محدود نشان دادند.

در این مقاله، ما این مفهوم را با معرفی مفهوم ابر محدب ƛq (به تعریف 3.1 مراجعه کنید) که در دسته فضاهای شبه متریک و نقشه های غیر گسترده مناسب خواهد بود، تعمیم خواهیم داد.

 

این تعمیم کار خمسی و همکاران که ایده ی ابر محدب بودن در فضاهای متریک را معرفی کردند، دنبال می کند.

در بخش 4 ما باید ثابت کنیم که برای  λ < 2 ویژگی نقطه ثابت همچنین برای نقشه های غیر گسترده در محدوده فضاهای ابر محدب ƛq نگه داشته می شود. اغراق در مورد نقشی  اساسی که معیارها در ریاضیات مدرن بازی کردند، دشوار است.

اما اگر برای متریک m ، شرط تقارن ، یعنی را رها کنیم، آنگاه آنچه که به عنوان شبه متریک شناخته می شود در می یابیم.

با وجود این واقعیت که شبه متریک ها اغلب در زمینه های مختلف ظاهر می شوند، این تعمیم طبیعی توجه بسیار کمتری را به خود جلب کرده است.

 

تحقیقات ما این واقعیت را که بسیاری از نتایج کلاسیک در مورد ضریب تحدبƛ  در فضاهای متریک استفاده ضروری از تقارن متریک را تأیید کرده و بنابراین، هنوز هم به شکلی تغییر یافته و اندکی اصلاح شده مفهوم ما از ابر محدب qƛ در فضاهای متریک را حفظ می کند.

همچنین این یافته ها در مورد اهمیت نظریه اخیر فضاهای شبه متریک توضیح می دهد.

مقاله ما بر آنست که یک تحقیق کم و بیش تفصیلی از مفهوم ابر محدب qƛ را به عنوان تعمیم مفهوم ابر محدب q که پیشتر توسط کماجو و همکاران تهیه شده است ، شروع کنیم.

 

این مقاله یک تعمیم منطقی مشابه آنچه که توسط خمیسی و همکاران به دست آمده،  هنگام معرفی ابرمحدب qƛ در فضاهای متریک است.

 

 

موارد اولیه :

در این بخش ، برخی از تعاریف اساسی مفاهیم استفاده شده در این مقاله را بیان می کنیم. این مفاهیم را می توان در [9] یافت. نتایج اخیر در نظریه ابر محدب q در فضاهای شبه متریک را می توان در [2،3،12] یافت.

تعریف 2- 1: فرض کنید  یک مجموعه غیرتهی و  باشد. پس d را یک شبه متریک کاذب روی  می نامیم اگر (a) d(x, x) = 0. هرگاه داشته باشیم x ∈ X. (b) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) آنگاه : x, y, x ∈ X.. گفته می شود این جفت (X ، d) یک فضای شبه متریک کاذب است. ما می گوییم d یک T0 شبه متریک محفوظ است اگر شرط دیگری را نیز برآورده کند: برای هر

x, y ∈ X, d(x, y) = 0 = d(y, x)  بر x = y. دلالت دارد. مجموعه X همراه با شبه متریک T0یک فضای شبه متریک گفته می شود.

تبصره 2-2 : اگر (x, d) یک فضای شبه متریک کاذب باشد ما یک فضای شبه متریک کاذب ترکیبی را به یان صورت تعریف می کنیم:

d−1: X × X → [0,∞) by d−1(x, y) = d(y, x).

اگر فضای شبه متریک کاذب d این رابطه را داشته باشد: d = d−1 به عنوان یک شبه متریک کاذب شناخته می شود. برای مثال ds = max{d, d−1} متریک کاذب است. اگر d یک فضای شبه متریک کاذب T0 باشد، ds متریک است.

 

 

 

 

 

برای مشاهده مطالب  بیشتر به سایت www.farzdon.ir   مراجعه  نماید.

 

 

 

Abstract

In this article, we introduce and study the concept of hyper convexity (which we call qλ-hyper convexity) that is appropriate in the category of T0-quasi-metric spaces and non expansive maps and this will generalize the notion of q-hyper convexity studied by Kemajou et al.

We prove a fixed point result for non expansive maps in qλ-hyper convex spaces and establish, among other things, that the fixed-point set of non expansive maps on qλ-hyper convex bounded T0-quasi-metric spaces is itself qλ-hyper convex.

Introduction

Aronszajn and Panitch pakdi (see [4, Definition 1, p. 410]) defined a metric space (M, d) to be hyper convex if: for any indexed class of closed balls Cd (xi , ri )i∈I in M satisfying d(xi , x j ) ≤ ri + r j for all i , j ∈ I , also satisfies Kemajou et al.

[9] defined an analogue of hyper convexity in the category of quasi-metric spaces and non-expansive maps, which they called q-hyper convexity (or Isbell-convexity).

They proved the fixed-point property for non-expansive mappings in bounded q-hyper convex spaces.

In this article, we will generalize this concept by introducing the notion of qλ– hyper convexity (see Definition 3.1) which will be suitable in the category of quasi-metric spaces and non-expansive maps. This generalisation follows that of Khamsi et al.

[10] who introduced the idea of λ-hyper convexity in metric spaces. In Sect. 4 we shall prove that for λ < 2 the fixed point property also holds for non-expansive self maps in bounded qλ– hyper convex spaces.

It is hard to overstate the fundamental role played by metrics in modern mathematics.

But if we drop, for a metric m, the symmetry condition, namely that m(x, y) = m(y, x), then we get what is known as a quasi-metric.

This natural generalization has received far less attention, despite the fact that quasi-metrics appear frequently in various fields.

Our investigations confirm the fact that many classical results about λ-hyperconvexity in metric spaces do not make essential use of the symmetry of the metric and, therefore, still hold in a sometimes slightly modified form- for our concept of qλ-hyperconvexity in quasi-metric spaces.

These results also elaborate on the importance of the recent theory of quasi-metric spaces. Our article intends to start a more or less detailed investigation of the concept of qλ-hyperconvexity as a generalization of the concept of q-hyperconvexity already developed by Kemajou et al.

(see [9]). This article is a logical extension similar to the one obtained by Khamsi et al. (see [10]) when introducing qλ-hyperconvexity in metric spaces.

Preliminaries

In this section,weoutline some basic definitions of concepts used in this paper.

These concepts can be found in [9]. Recent results in the theory of q-hyperconvexity in quasi-metric spaces can be found in [2,3,12].

Definition 2.1 [9, p. 3] Let X be a non-empty set and let d : X × X → [0,∞).

Then d is called a quasi pseudometric on X if (a) d(x, x) = 0 whenever x ∈ X. (b) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) whenever x, y, x ∈ X. The pair (X, d) is said to be a quasi-pseudometric space.

We say that d is a T0-quasi-metric provided it satisfies the additional condition that: for each x, y ∈ X, d(x, y) = 0 = d(y, x) implies that x = y. The set X together with a T0-quasi-metric is called a T0-quasi-metric space.

Remark 2.2 If (X, d) is a quasi-pseudometric space, then we define the conjugate quasipseudometric

d−1: X × X → [0,∞) by d−1(x, y) = d(y, x).

If the quasi-pseudometric d satisfies d = d−1, it is known as a pseudometric. For example ds = max{d, d−1} is a pseudometric. If d is a T0-quasi-pseudometric, then ds is a metric.