نقاط ثابت مشترک نگاشت
نقاط ثابت مشترک نگاشت
چکیده نقاط ثابت مشترک نگاشت
انجام پایان نامه ریاضی
انجام مقالات ریاضی
در این مقاله، ما چندین قاعده نقطه ثابت مشترک برای خانواده نگاشت های تعیین شده در فضاهای متریک ابر محدب ایجاد می کنیم. سپس چندین کاربرد از نتایج خود ارائه می دهیم.
مقدمه نقاط ثابت مشترک نگاشت
فضاهای متریک ابر محدب توسط آرونز جان و پانیک پاکدی هنگام بررسی قضیه گسترش هان-باناخ کلاسیک در تنظیم فضاهای متریک معرفی شدند.
تحدب بیش از حد در مورد خطی به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفت. مطالعه مشکل نقطه ثابت در فضاهای ابر محدب توسط سین و سوردی آغاز شد.
به دنبال کار آنها، مقالات جالب زیادی در ارتباط با ساختار فضاهای متریک ابر محدب و بررسی مشکل نقطه ثابت منتشر شد. قضیه حداکثر- حداقلی کی هو فن توسط خمسی برای فضاهای متریک ابر محدب گسترش یافت.
در این مقاله، مفهوم نقشه برداری ناستر-کوراتوسکی-مازوکویچ (در نگاشت KKM کوتاه) در فضاهای متریک ابر محدب معرفی شد.
به خصوص، یک شباهت با قضیه نقطه ثابت شوودر در فضاهای متریک تراکم ابر محدب اثبات شد.
از آن زمان، بسیاری از برنامه های جالب نظریه KKM در فضاهای ابر محدب کشف شد. در این کار، ما همان ایده ها را دنبال کرده و درباره وجود نقاط ثابت مشترک برای نگاشت های تنظیم شده که در فضاهای متریک ابر محدب تعریف شده اند، بحث می کنیم.
برای تئوری نقطه ثابت در فضاهای متریک ابر محدب ما این کتاب را توصیه می کنیم.
به عنوان برنامه های کاربردی، ما یک قضیه موجودیت را برای مساله نابرابری متغیر تعمیم یافته از نوع استامپاکیا ایجاد می کنیم ، که در منابع مطالعه شده است. ما یک نامساوی حداقل-حداکثری ضرب شده از نوع Fan Ky (قضیه4.3) که نسخه ای ابر محدب از قضیه 4.3 در [1] را تشکیل می دهد. اجازه بدهید تا در ابتدا با بیان تعریف ابرمحدب بودن شروع کنیم.
تعاریف و ویژگی های اساسی نقاط ثابت مشترک نگاشت
ابر محدب بودن جنبه های منفی هم دارد. به عنوان مثال، زیرمجموعه های ابرمحدب در مورد خطی ممکن است محدب و برعکس نباشد. جالب ترین فضای خطی در تئوری فضاهای باناخ، فضای هیلبرت است که نمی تواند ابر محدب باشد. اما فضاهای ابرمحدب از برخی ویژگی های جالب محدب بودن برخوردارند.
تعریف 2.1–
فضای متریک (M ، d) برا محدب گفته می شود اگر برای هر گروه از گوی های بسته {B(xα, rα)}α∈Γ در M به طوری که d(xα, xβ) ≤ rα + rβ, و برای هر مقدار α, β ∈ Γ, داشته باشیم : _α∈Γ B(xα, rα) _= ∅.
این تعریف را می توان به عنوان یک خاصیت اشتراک جفت ها که همراه با یک محدب متریک است ، مشاهده کرد [15]. در فضاهای خطی، ابر محدب بودن به ویژگی اشتراک گوی های بسته تقلیل می یابد، یعنی هر مجموعه ای از گوی های های بسته که دوبه دو مشترکند، دارای یک اشتراک غیر تهی است. ناچبین-کلی ثابت کردند که یک فضای خطی نرمالیزه X این ویژگی را برآورده می کند اگر و فقط یک مجموعه متراکم استونی K وجود داشته باشد به طوری که X = C (K).
نمونه هایی از فضاهای خطی ابرمحدب خط واقعی با متریک معمول ، L∞ (I) برای هر مجموعه I و L∞ (μ) برای یک مقدار محدود μ. است. شایان ذکر است که برای هر n ≥ 2 ، Rn با متریک اقلیدسی ابر محدب نیست، اما با نسبت فاصله چیبیشف ابرمحدب است. در فضاهای متریک ابرمحدب زیرمجموعه هایی که اشتراک گوی های بسته هستند نقش عمده ای دارند.
تعریف 2.2- (M ، d) را یک فضای متریک در نظر بگیرید. فرض کنیم A یک زیر مجموعه غیرتهی از مجموعه M. باشد.
co(A) = ∩ {B : B is a closed ball such that A ⊂ B}.
اگر A اشتراک گوی های بسته باشد ، می توان گفت A یک زیر مجموعه قابل قبول از M است. A برای هر زیرمجموعه محدود D از A
co (D) ⊂ A
از تعریف قبلی ، نتیجه می گیریم که هر مجموعه قابل قبول مانند اشتراک مجموعه های بسته، بسته است. همچنین به سادگی به این نتیجه می رسیم که اشتراک مجموعه های قابل قبول (زیر مجموعه های قابل قبول) قابل قبول است. بدیهی است، که اگر A زیر مجموعه قابل قبولی از فضای متریک M باشد، پس A قابل قبول است. وقتی که A پیوسته باشد، این گفته در فضاهای متریک ابر محدب نیز صادق است [21]. شایان ذکر است که اگر M ابرمحدب باشد، پس هر مجموعه قابل قبول در M نیز ابر محدب است.
قضیه زیر مجموعه ای از مجموعه های قابل قبول را به اثبات می رساند که ممکن است قابل قبول نباشد.
قضیه 2.1- اشتراک گوی های باز در یک فضای متریک (M ، d) یک مجموعه قابل قبول است.
برای مشاهده مطالب بیشتر به سایت www.farzdon.ir مراجعه نماید.
Abstract
In this paper, we establish several common fixed point theorems for families of set-valued mappings defined in hyper convex metric spaces. Then we give several applications of our results.
Introduction
Hyper convex metric spaces were introduced by Aronszajn and Panitchpakdi while investigating the classical Hanh-Banach extension theorem in the setting of metric spaces.
Hyper convexity was extensively studied in the linear case . The study of the fixed point problem in hyper convex metric spaces was initiated by Sine and Soardi.
Following their work, many interesting papers were published dealing with the structure of hyper convex metric spaces and the study of the fixed point problem .
The Ky Fan’s min-max theorem was extended to hyper convex metric spaces by Khamsi .
In this work, the concept of Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz mappings (in short KKM mappings) was introduced in hyper convex metric spaces.
In particular, an analogue to Schauder’s fixed point theorem in compact hyper convex metric spaces was proved.
Since then, many interesting applications of the KKM theory in hyper convex metric spaces were discovered [12,13,17,21,23,24].
In this work, we follow the same ideas and discuss the existence of the common fixed points for set-valued mappings defined on hyper convex metric spaces. For fixed point theory in hyper convex metric spaces, we recommend the book [15].
As applications we establish an existence theorem for a generalized variational inequality problem of Stampacchia type, studied in references [22] and [24].
We obtain a multiplied minimax inequality of Ky Fan-type (Theorem 4.3 ) that constitutes a hyperconvex version of Theorem 4.3 in [1].
Basic definitions and properties
Hyperconvexity has some unfortunate aspects. For example, hyperconvex subsets in the linear case may not be convex and vice-versa.
The most interesting linear space in the theory of Banach spaces is the Hilbert space which fails to be hyperconvex. But hyperconvex spaces do enjoy some interesting properties similar to convexity.
First, let us start by giving the definition of hyperconvexity.
Definition 2.1.
A metric space (M,d) is said to be hyperconvex if for any family of closed balls {B(xα, rα)}α∈Γ in M such that d(xα, xβ) ≤ rα + rβ, for any α, β ∈ Γ, then _α∈Γ B(xα, rα) _= ∅.
This definition can be seen as a binary intersection property of balls combined with a metric convexity [15]. In linear spaces, hyperconvexity reduces to the binary intersection property of the closed balls, that is any collection of closed balls which intersects pairwise, does have a nonempty intersection.
Nachbin-Kelley [11] proved that a normed linear space X satisfies this property if and only if there exists a Stonian compact set K such that X = C(K).
Examples of hyperconvex linear spaces are the real line with the usual metric, l∞(I) for any set I and L∞(μ) for a finite measure μ. It is worth noting that for any n ≥ 2, Rn with the Euclidean metric is not hyperconvex, but it is hyperconvex with respect to the Chebyshev distance.
In hyperconvex metric spaces subsets which are intersection of closed balls play a major role.
Definition 2.2. Let (M,d) be a metric space. Let A be a bounded nonempty subset of M. Set
co(A) = ∩ {B : B is a closed ball such that A ⊂ B}.
If A is an intersection of closed balls, we will say A is an admissible subset of M. A is called sub-admissible if for each finite subset D of A, co(D) ⊂ A.
From the previous definition, we infer that every admissible set is closed, as intersection of closed sets.
It follows also easily that an intersection of admissible (resp., sub-admissible) sets is admissible (resp., sub-admissible). Obviously, if A is an admissible subset of a metric space M, then A is subadmissible; when A is compact, the converse is also true in hyperconvex metric spaces [21].
It is worth also noting that if M is hyperconvex, then each admissible set in M is also hyperconvex.
The following proposition put in evidence a class of sub-admissible sets which may be not admissible.
Proposition 2.1. An intersection of open balls in a metric space (M,d) is a sub-admissible set.
نقاط ثابت مشترک نگاشت